Tema 2 Límite y Continuidad Sección 1_4 ejercicios 107 y 109

107.) Un sábado a las 8:00 de la mañana, un hombre comienza a subir corriendo la ladera de una montaña hacia su camping de fin de semana. El domingo a las 8:00 de la mañana baja corriendo la montaña. Tarda 20 minutos en subir y sólo 10 en bajar. En cierto punto del camino de bajada, el hombre se da cuenta que pasó por el mismo lugar a la misma hora al sábado. Demostrar que el hombre está en lo cierto. Sugerencia: Considerar que s(t) y r(t) son las funciones de posición de subida y bajada y aplicar el teorema del valor intermedio a la función f(t)=s(t)-r(t).

Como el hombre tarda 20 minutos en subir y 10 minutos en bajar, si hay algún punto de coincidencia tiene que ser en un intervalo de 10 minutos como máximo, por tanto considero el intervalo a estudiar [0,10].

Como el teorema del valor intermedio nos garantiza al menos un cero (en este caso el cero es el punto de coincidencia) siempre que f(a) tenga signo distinto que f(b) en un intervalo [a,b], por tanto tenemos que probar que f(0) tenga diferente signo a f(10).

como f(t)=s(t)-r(t)

f(0)=s(0)-r(0)=0-r(0) por lo que -r(0) <0. 

s(0) es cuando el hombre el sábado no ha empezado a subir, por tanto no recorre nada y la función vale cero.

 r(0) es cuando el hombre el domingo está arriba de la colina, no ha empezado a bajar pero la función si tiene un valor que es la altura a la que se encuentra, por eso -r(0) es negativo.

f(10)=s(10)-r(10)=s(10)+0 por lo que s(10)>0

s(10) es cuando el hombre el sábado lleva recorrido cierto espacio y por tanto la función tiene un valor

 r(10) es cuando el hombre el domingo ha llegado a la base de la colina y por tanto r(10)=0

Como f(0) tiene signo distinto de f(10) entonces el hombre lleva razón en su apreciación.

109.) Demostrar que si f es continua y carece de ceros en [a,b] entonces

F(x)>0 para todo x en  [a,b] o f(x)<0 para todo x en  [a,b].

Una forma de demostrar lo que piden es la siguiente. Si f no tuviera signo constante en [a,b] entonces habría dos puntos c y d (c < d, por ejemplo) en los que f tendría signo distinto. Pongamos, por ejemplo, f(c) < 0 < f(d). Resultaría entonces que en el intervalo [c,d] la función f, que es continua, cambiaría de signo. Por el teorema de los valores intermedios (tal y como tú lo aplicas en el 107), f tendría un cero en [c,d]. Pero esto es falso por hipótesis. 

Ejercicio resuelto por: Francisco Javier Cirre Torres (Coordinador de la asignatura Matemáticas I